Ders Tanımları

Ders Tanımları

Ders Kod Ders Adı Kredi
MATH 511 Gerçel Analiz (Real Analysis) (3+0+0) 3
Kümeler, sayılabilir kümeler, R kümesindeki topolojik kavramlar, sürekli fonksiyonlar, metrik uzaylar. Lebesgue integrali, Lp uzayları, Riesz-Fischer teoremi ve Hilbert uzayı. Normlu doğrusal uzaylar, Minkowski eşitsizliği, tamlık teoremi, L∞ uzayı, Egoroff teoremi, Radon-Nykodym teoremi, Carathéodory ve Hahn Banach teoremleri. Lebesgue ve Lebesgue-Stieljes ölçümü, Riesz yardımcı teoremi, Fubini ve Tonelli teoremleri.
MATH 512 Karmaşık Analiz (Complex Analysis) (3+0+0) 3
Karmaşık sayı sistemi, metrik uzaylar ve C'nin topolojisi, analitik fonksiyonların temel özellikleri ve örnekleri, karmaşık integrasyon, maksimum modül teoremi, Cauchy integral formulü, çizgisel integrallerin özellikleri, açı koruyan dönüşüm. Schwarz-Christoffel dönüşümü.
MATH 513 Fonksiyonel Analiz (Functional Analysis) (3+0+0) 3
Doğrusal uzaylar, normlar, tamlık. Doğrusal dönüşümler, süreklilik. Hahn-Banach teoremi, normlu doğrusal uzaylar, Hilbert uzayları. Eşlenik uzaylar. Sınırlı doğrusal fonksiyoneller, zayıf yakınsaklık, düzgün sınırlılık, zayıf ve zayıf* topolojiler, Stone-Weierstrass teoremi. Sınırlı doğrusal operatörler: sınırlılık ve süreklilik, zayıf ve kuvvetli yakınsaklık. Açık dönüşüm teoremi. Kapalı çizit teoremi.
MATH 516 Olasılık (Probability) (3+0+0) 3
Monoton fonksiyonlar, dağılım fonksiyonları, mutlak sürekli ve tekil dağılımlar. Ölçü kuramı, küme sınıfları, olasılık ölçüleri ve dağılım fonsiyonları. Rastlantısal değişkenler, beklenen değer, varyans, matematiksel beklenen değerin özellikleri. Bağımsızlık, yakınsama çeşitleri, hemen heryerde yakınsama, Borel-Cantelli yardımcı teoremi, belirsiz yakınsama, düzgün tümlenebilme, momentlerin yakınsaklığı, büyük sayılar kanunu, rastlantısal seriler, büyük sayıların zayıf kanunu, büyük sayıların kuvvetli kanunu. Karakteristik fonksiyon, evrişim, teklik ve tersini alma, yakınsaklık teoremleri, merkezi limit teoremi, koşullu beklenen değerin temel özellikleri, koşullu bağımsızlık ve Markov özelliği.
MATH 521 Adi Diferansiyel Denklemler (Ordinary Differential Equations) (3+0+0) 3
Adi diferansiyel denklemler, doğrusal sistemler, doğrusal olmayan sistemler, varlık ve teklik teoremleri, parametrelere sürekli bağlılık, kararlılık. Sınır değer problemleri, periyodik çözümler. Banach uzaylarında işleçler, büzülme dönüşümleri.
MATH 522 Kısmi Diferansiyel Denklemler I (Partial Differential Equations I) (3+0+0) 3
Birinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin sınıflandırılması. Doğrusal ve doğrusal olmayan denklemler. Geometrik yorum. Monge konileri ve Monge denklemi. Özellikler. Cauchy problemi. Kostikler. Zarflar. Hamilton-Jakobi kuramı. Simplektik geometrinin öğeleri. İkinci mertebeden bazı denklemler.
MATH 523 Kısmi Diferansiyel Denklemler II (Partial Differential Equations II) (3+0+0) 3
İkinci mertebeden kısmi türevli diferansiyel denklem türleri. Kanonik yapıya indirgeme: hiperbolik, parabolik ve eliptik türler. Hiperbolik türden olan denklemler. D'Alambert formülleri. Doğruluk. Riemann yöntemi ve Riemann fonksiyonu. Üç boyutlu dalga denklemi. Poisson formülü. Klasik problemlerin doğruluğu. Homojen olmayan denklemler. Silindirik dalgalar. Noktasal kaynak. Fourier yöntemi. Eliptik denklemler ve klasik problemler. Harmonic fonksiyonlar ve özellikleri. Küre için ortalama değer problemi. Kelvin teoremi. Dirichlet and Neumann problemleri için teklik teoremleri. Küre için Dirichlet problemi. Dirichlet ve Neumann problemleri için Green fonksiyonu. Küresel fonksiyonlar ve uygulamaları.
MATH 527 Sayısal Analiz (Numerical Analysis) (3+0+0) 3
Polinom yaklaşımı, Lagrange aradeğerlemesi, enküçük karesel polinom yaklaşımı, kübik eğri yaklaşımı ve aradeğerlemesi, hızlı Fourier dönüşümü. Sayısal integrasyon, Richardson dışdeğerlemesi, Romberg integrasyonu, Gaus integrasyonu, uyarlanır integrasyon, çokkatlı integraller için Monte Carlo yöntemleri, sayısal doğrusal cebirin doğrudan yöntemleri, üçgen sistemler, Gauss indirgemesi, ve LU ayrışımı, geriye doğru hata analizi. Doğrusal olmayan sistemlerin sayısal çözümü ve eniyileme; tek nokta döngüsü, Newton yöntemi, kısıtsız enküçültme, eşlenik gradyanlar.
MATH 528 Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü (Numerical Solution of Partial Differential Equations) (3+0+0) 3
Parabolik, hiperbolik ve eliptik kısmi türevli diferansiyel denklemler için sonlu farklar yöntemi. Örnek problemler için sonlu fark şemasının oluşturulması. Sayısal şemanın, yakınsaklık, uyumluluk ve kararlılık analizi. Spektral yöntemlere giriş: Fourier düzenleme ve Fourier Galerkin yöntemleri.
MATH 541 Cebir (Algebra) (3+0+0) 3
Gruplar, eşyapı teoremleri, grup etkisi, değişimli grupların basitliği, p-gruplarının çözülebilirliği, Sylow teoremleri, Jordan-Hölder teoremi, nilpotent ve çözülebilir gruplar. Halkalar, halka eşyapıları, Euclid bölgeleri, PID'ler, tek çarpanlara ayırma, Gauss lemması, indirgenemezlik ölçütü.
MATH 551 Doğrusal Olmayan Sürekli Ortamlar Mekaniği I (Nonlinear Continuum Mechanics I) (3+0+0) 3
Sürekli ortamlar mekaniğinin matematiksel temelleri, vektörler ve tansörler, şekil değiştirmenin kinematiği, korunum yasaları.
MATH 552 Doğrusal Olmayan Sürekli Ortamlar Mekaniği II(Nonlinear Continuum Mechanics II) (3+0+0) 3
Termodinamik, elastik, viskoz ve viskoelastik malzemelerin bünye denklemleri, elektromanyetik katılar.
MATH 554 Tedirgeme Yöntemleri (Perturbation Methods) (3+0+0) 3
Çakışan sonuşur açılımlar, çoklu ölçekler, WKB ve türdeşleştirme. Adi diferansiyel denklemler, kısmi diferansiyel denklemler, fark denklemler ve integral denklemlerde uygulamalar: sınır veya şok tabakaları, doğrusal olmayan dalga yayılımı, dallanma ve kararlılık, ve rezonans.
MATH 561 Topoloji (Topology) (3+0+0) 3
Topolojik yapılar, açık ve kapalı kümeler, komşuluklar, çarpım, sıralama ve alt uzay topolojileri, metrik topolojisi, yığılma ve limit noktaları, yakınsaklık, sürekli dönüşümler, bağlantılılık ve yollar, tıkızlık ve yerel tıkızlık, gömmeler, ayırma aksiyomları, normal uzaylar. Urysohn, Tychonoff ve Stone-Čech teoremleri.
MATH 564 Diferansiyel Geometri (Differential Geometry) (3+0+0) 3
Türevlenebilir katmanlar, teğet ve eşteğet uzaylar, vektör alanları, Lie parantezi, difeomorfizma, ters fonksiyon teoremi, alt katmanlar, hiperyüzeyler, Euclid uzayının standart bağlantısı, Weingarten ve Gauss tasvirleri, tensörler ve diferansiyel formlar, Lie türevi, Riemann bağlantısı, Riemann katmanları, Riemann eğrilik tensörü.
MATH 571 Fizik ve Mühendislikte Matematiksel Yöntemler (Mathematical Methods in Physics and Engineering) (3+0+0) 3
Sonlu boyutlu vektör uzaylarında doğrusal işleçler, kanonik formlar ve matris fonksiyonları, vektör uzaylarında çoklu doğrusal fonksiyonlar, R3-te tansör analizi, ve esneklik kuramına uygulamaları, değişimler hesabı, yarı doğrusal kısmi diferansiyel denklemler, değişkenlerin ayrılması, iyi-tanımlı problemler. Analitik fonksiyonlar, çevre integralleri, açı koruyan dönüşümler, Banach ve Hilbert uzayları, dik fonksiyon açılımları, klasik dik polinomlar, integral dönüşümler, kısmi diferansiyel denklemlere uygulamaları, Green fonksiyonları, genelleştirilmiş fonksiyonlar. (Matematik dışında lisans dereceli öğrenciler için)
MATH 581-589 Matematikte Özel Konular (Special Topics in Mathematics) (3+0+0) 3
Matematik alanındaki güncel teknolojik ya da kuramsal gelişmeler arasından seçilmiş özel konuların çalışılması.
MATH 611 Harmonik Analiz I (Harmonic Analysis I) (3+0+0) 3
L^p ve zayıf L^p uzayları, evrişim ve yaklaşık birim elemanlar, aradeğerleme, azami fonksiyonlar. Schwartz sınıfı ve Fourier dönüşümleri, dengeli dağılım sınıfları, L^p uzaylarında evrişim operatörleri ve çarpanları. Fourier katsayıları, Fourier katsayılarının çöküş özelliği, Fourier serilerinin noktasal yakınsaklığı. Eşlenik fonksiyonu ve norm içerisinde yakınsama, tekil integraller, Hilbert dönüşümü ve Riesz dönüşümü, homojen tekil integraller ve döndürme yöntemi, Calderon-Zygmung ayrışımı ve tekil integraller, L^p sınırlılığı için yeterli koşullar.
MATH 612 Harmonik Analiz II (Harmonic Analysis II) (3+0+0) 3
Littlewood-Paley kuramı, çarpan teoremleri, Littlewood-Paley kuramının uygulamaları. Haar sistemi, koşullu beklenti ve martingaller. Riesz potansiyelleri, Bessel potansiyelleri ve kesirli integraller. Sobolev uzayları, Lipschitz uzayları, Hardy uzayları, fonksiyon uzaylarında tekil integraller, sınırlı ortalama salınım fonksiyonları, H^1 ve sınırlı ortalama salınım arası eşleklik, teğet olmayan azami fonksiyonlar, Carleson ölçüleri ve keskin azami fonksiyon.
MATH 613 Açı Koruyan Dönüşümler (Conformal Mappings) (3+0+0) 3
Harmonik fonksiyonlar, Green formulü, analitik fonksiyonlar, basit bağlantılı bölgelerde açı koruyan dönüşümler, Riemann gönderim teoremi, eliptik fonksiyonlar, çok bağlantılı bölgelerde açı koruyan dönüşümler, açı koruyan dönüşümlere geometrik ve analitik yaklaşım. Hemen-hemen açı koruyan dönüşümler ve Teichmüller uzayları.
MATH 614 İleri Fonksiyonel Analiz ( Advanced Functional Analysis) (3+0+0) 3
Banach cebirleri, Banach uzaylarında temel spektral kuramı. Değişmeli Banach cebirleri ve Gelfand kuramı. İntegral operatörler. Tıkız operatörler ve spektral kuramı. Tıkız operatör örnekleri, pozitif tıkız operatörler. Hilbert uzaylarında tıkız simetrik operatörler. Simetrik, normal, üniter ve kendine eş operatörlerin spektral kuramı.
MATH 615 Fonksiyonel Analiz ve Uygulamaları (Functional Analysis and Applications)( (3+0+0) 3
Normlu uzaylar. Doğrusal operatörler, büzülme dönüşümü. Sabit nokta teoremleri, spektral kuramı. Sturm-Liouville sistemleri. Varyasyonel yöntemler, diferansiyel denklemlere uygulamaları. Doğrusal ve doğrusal olmayan eliptik kısmi diferansiyel denklemler.
MATH 617 Stokastik Süreçler Kuramı I (Theory of Stochastic Processes I) (3+0+0) 3
Brown hareketi tanımı ve temel özellikleri, martingal, Doob eşitsizliği, durdurma zamanları, opsiyonlu durdurma teoremi, yakınsama ve düzenlilik, bazı martingal uygulamaları, Brown hareketinin Markov özellikleri, Poisson süreci, Brown hareketinin yol özellikleri, sürekli yarımartingaller, karesi tümlenebilir martingaller, ikinci dereceden varyans, Doob-Meyer ayrışması, stokastik integraller ve genişlemeleri, Ito formülü, Levy teoremi, martingallerde zaman değişimi, martingal temsili, Burkholder-Davis-Gundy eşitsizlikleri ve Stratonovich integralleri.
MATH 618 Stokastik Süreçler Kuramı II (Theory of Stochastic Processes II) (3+0+0) 3
Ito formülü, Girsanov teoremi, Markov süreçleri, Markov süreçlerinin geçiş özellikleri, örnek Markov süreçleri, doğal süreç ve kaydırma operatörü, filtre genişlemesi, kuvvetli Markov özelliği, geçicilik ve yineleme. Toplamsal fonksiyonlar, süreklilik, harmonik fonksiyonlar, genel süreçler kuramı, tahmin edilebilir ve seçime bağlı süreçler, çarpma zamanları, zıplama yapan süreçler, martingal ayrışımı, stokastik integraller. Zıplamalı süreçler için Ito formülü, indirgenme teoremi, yarımartingaller, zıplamalı süreçler için Girsanov teoremi. Stokastik diferansiyel denklemler, yollar cinsinden çözümler ve tek boyutlu stokastik diferansiyel denklemler.
MATH 619 İleri Diferansiyel Geometri (Advanced Differential Geometry) (3+0+0) 3
Tensör alanları, diferansiyel formlar ve dış türev. Bağlantılar. Riemann metriği, Riemann manifoldu, kovaryant türev, paralel kayma, jeodezikler, üstel tasvir ve normal koordinatlar. Eğrilik tensörleri, kesitsel eğrilik, Ricci eğriliği ve skalar eğrilik. Uzay formları. Riemann metriğinin açı koruyan değişimi. Riemann alt katmanlar, zorlamalı bağlantı, ikinci esas form. Gauss, Codazzi ve Ricci denklemleri. Cartan yapı denklemleri.
MATH 653 Doğrusal Olmayan Elastisite (Nonlinear Elasticity) (3+0+0) 3
Yöneten denklemlerin gözden geçirilmesi, doğrusallaştırma ve kararlılık, bünyesel eşitsizlikler, büyük esnek şekil değiştirmeler, özel problemlerin tam çözümleri, sıkışmaz malzemelerin denetlenebilir şekil değiştirmeleri, başlangıç gerilme problemleri, esnek kararlılık, doğrusal olmayan tel ve çubuk kuramları, zar kuramı, lifle-kuvvetlendirilmiş malzemeler, ikinci mertebe esneklik, faz dönüşümleri ve kristal hataları.
MATH 655 Dalgaların Doğrudan ve Ters Saçılması(Direct and Inverse Scattering of Waves) (3+0+0)3
Vektör ve skalar dalgalar. Elektromaynetik dalgalar. Dalga denklemi. Helmholtz denklemi. Durağan faz yöntemi. Geometrik optik yaklaşımı. Kırılım elemanları. Huygens-Frenel ilkesi. Saçılma için Riesz-Fredholm kuramı. Potansiyel kuram. Zayıf tekile sahip integral operatörler. Helmholtz denklemi için sınır değer problemleri. Maxwell denklemleri ve vektör Helmholtz denklemleri için sınır değer problemleri.
MATH 656 Doğrusal Olmayan Dalgalar (Nonlinear Waves) (3+0+0) 3
Euler denklemleri. Saçılma, dağılma ve doğrusal olmama durumları. Korteweg-de Vries denklemi: türetilmesi, yalnız dalga çözümleri ve korunan büyüklükler. Doğrusal olmayan Schrödinger denklemi: türetilmesi, yalnız dalga çözümleri ve korunan büyüklükler.
MATH 680 Matematikte Yönlendirilmiş Araştırmalar (Guided Research in Mathematics) Kredisiz
Matematik alanında öğretim üyeleri ile eşgüdümlü yürütülen araştırma; bir araştırma önerisinin hazırlanması ve sunulmasına yönelik doktora öğrencilerinin yönlendirilmesi.
MATH 681-689 Matematikte Özel Çalışmalar(Special Studies in Mathematics) (3+0+0) 3
Matematikteki güncel araştırma konularının bir fakülte üyesi gözetiminde doktora öğrencilerince incelenmesi ve seçilen konunun sunumu.
MATH 690 Doktora Tezi (Ph.D. Thesis) Kredisiz
Akademik danışman gözetiminde bir Doktora Tezi'nin hazırlanması.

İlgili Dosyalar